Los números \(p\)-ádicos: Una Introducción a la Aritmética No Convencional

Por Alex Pico Amaya

En el vasto mundo de las matemáticas, existen diferentes conjuntos numéricos que van más allá de los números enteros, racionales o reales con los que estamos familiarizados en nuestra vida cotidiana. Uno de los conjuntos más fascinantes y misteriosos son los números \(p\)-ádicos, una rama de la aritmética que se desvía de la noción tradicional de magnitud y nos lleva a un reino numérico completamente diferente. A lo largo de este artículo, exploraremos los números \(p\)-ádicos y revelaremos algunas curiosidades sobre ellos:

Definición de números \(p\)-ádicos: Los números \(p\)-ádicos son una extensión de los números racionales que se definen en términos de la norma \(p\)-ádica. Aquí, \(p\) es un número primo específico. La norma \(p\)-ádica es una forma de medir la magnitud de un número, pero difiere sustancialmente de la norma euclidiana (la que usamos en los números reales). La norma \(p\)-ádica se denota como \(|x|_p\) y se calcula de la siguiente manera:

\[ |x|_p =\left\{\begin{array}{cl} 0 & \text{si } x = 0 \\ p^{-n} & \text{si } x = p^n \cdot \frac{a}{b}, \text{ donde } p \nmid a, p \nmid b \text{ y } n \in \mathbb{Z} \end{array}\right. \]

Esta definición puede parecer un tanto extraña al principio, pero es esencial para comprender cómo funcionan los números \(p\)-ádicos.

Curiosidad #1: El número \(2\)-ádicoUno de los números \(p\)-ádicos más conocidos es el número \(2\)-ádico, que se basa en la norma \(2\)-ádica. Si bien la norma \(2\)-ádica puede parecer extraña, es fundamental en la teoría de números y en la aritmética de números \(p\)-ádicos. Para ilustrar cómo funciona la norma \(2\)-ádica, consideremos el número \(x = \frac{5}{16}\).La norma \(2\)-ádica de \(x\) se calcula como sigue: \[ \left.\begin{array}{cl} |x|_2 &= 2^{-n} \text{, donde } n \text{ es la mayor potencia de } 2 \text{ que divide } 5 \text{ o } 16 \\ |x|_2 &= 2^{-4} = \frac{1}{16} \end{array}\right. \] Este resultado nos dice que el número \(2\)-ádico \(x\) es «pequeño» en términos de la norma \(2\)-ádica.

Curiosidad #2: Series \(p\)-ádicas:Una de las características más sorprendentes de los números \(p\)-ádicos es que algunas series infinitas pueden converger en números \(p\)-ádicos de manera sorprendente. Por ejemplo, la serie geométrica \(1 + p + p^2 + p^3 + \ldots\) converge a un número \(p\)-ádico muy interesante. Para ilustrar esto utilizando LaTeX: \[1 + p + p^2 + p^3 + \ldots = \frac{1}{1 – p}\] Esta fórmula muestra cómo una serie infinita aparentemente divergente en términos de los números reales puede tener un resultado perfectamente válido en el mundo de los números \(p\)-ádicos.

Curiosidad #3: Teorema de Hensel:

El teorema de Hensel es una poderosa herramienta en la teoría de números \(p\)-ádicos. Este teorema permite extender soluciones de ecuaciones en los números enteros a soluciones en los números \(p\)-ádicos. La formulación completa del teorema de Hensel es bastante compleja, pero su uso puede simplificar la resolución de problemas algebraicos en el contexto \(p\)-ádico.

En resumen, los números \(p\)-ádicos nos introducen a un mundo numérico extraordinario, donde la noción de magnitud se redefine por completo. A pesar de su aparente extrañeza, los números \(p\)-ádicos desempeñan un papel fundamental en la teoría de números, el álgebra y otras ramas de las matemáticas. Con su ayuda, los matemáticos han resuelto problemas que de otra manera serían inabordables. Estos números son una prueba de que, en el mundo de las matemáticas, siempre hay espacio para explorar territorios numéricos nuevos y sorprendentes.

Alex Pico Amaya

Matemático y estudiante de maestría en ciencias matemáticas de la universidad del atlántico, Desarrollador web de Extituto de Politica Abierta y docente tiempo completo de la Corporación Universitaria Latinoamericana.

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