Curiosidades sobre números perfectos
Por Alex Pico Amaya
La historia de los números perfectos es parte integral de una de las ramas más antiguas y cautivadoras de las matemáticas: la teoría numérica. El primero en mencionarlos fue Euclides, en su trascendental obra «Los Elementos», que data del año 300 a.C. Descubrió cuatro de estos números y en su texto proporcionó un método confiable para encontrar más. Un método seguro, aunque arduo y tedioso. Los números perfectos han sido un tema de gran interés en la teoría numérica, capturando la curiosidad de matemáticos por siglos.
Definición: Un número entero positivo es un número perfecto si es igual a la suma de sus divisores propios (todos sus divisores excepto el propio número).
Los dos números perfectos más pequeños son el \(6\) (cuyos divisores propios son \(1, 2, 3\) y cumplen que \(1+2+3=6\)) y el \(28\) (cuyos divisores propios son \(1, 2, 4, 7, 14\) y cumplen que \(1+2+4+7+14=28\)). Hasta la fecha, se desconoce si existen infinitos números perfectos o si existe alguno impar. Todos los conocidos hasta ahora son pares, y su estructura está completamente definida por el teorema de Euclides-Euler.
Teorema de Euclides-Euler: Un entero positivo \(N\) es un número perfecto par si y sólo si \( N=2^{p-1} \cdot (2^p-1)\), con \(2^p-1\) un número primo.
Esto implica, entre otras cosas, que \(p\) debe ser un número primo, dado que cualquier número entero de la forma \(2^r-1\) (conocidos como números de Mersenne) es compuesto si \(r\) es un número compuesto.
A continuación, demostraremos una curiosa propiedad sobre los cubos y los números perfectos a través del siguiente teorema.
Teorema: Todo número perfecto par (mayor que \(6\)) puede expresarse como suma de cubos de números impares consecutivos, comenzando siempre en el \(1\).
Veamos algunos ejemplos con los números perfectos pares más pequeños conocidos:
- \(28=1^3+3^3\)
- \(496=1^3+3^3+5^3+7^3\)
- \(8128=1^3+3^3+5^3+7^3+9^3+11^3+13^3+15^3\)
- \(33550336=1^3+3^3+\ldots +125^3+127^3\)
- \(8589869056=1^3+3^3+\ldots +509^3+511^3\)
Esta es una maravillosa esta propiedad, a continuación veamos la demostración del teorema:
Demostración: Sea \(N\) nuestro número perfecto par mayor que \(6\). Por tanto, \(N=2^{p-1} \cdot (2^p-1)\), con \(2^p-1\) un número primo (y, por tanto, \(p\) también primo).
Por otro lado, vamos a calcular la suma de los cubos de los primeros \(n\) impares. Para ello, vamos a utilizar las fórmulas de Faulhaber.
Comenzamos calculando la suma de los cubos de los primeros \(2n\) enteros positivos:
\[\displaystyle{\sum_{k=1}^{2n} k^3=\cfrac{(2n)^4+2 \cdot (2n)^3+(2n)^2}{4}=\cfrac{16n^4+16n^3+4n^2}{4}=4n^4+4n^3+n^2}\]
Por otro lado, calculamos la suma de los cubos de los primeros \(n\) enteros pares:
\[ \displaystyle{\sum_{k=1}^n (2k)^3=8 \cdot \sum_{k=1}^n k^3=8 \cdot \cfrac{n^4+2 n^3+n^2}{4}=2n^4+4n^3+2n^2} \]
Evidentemente, la suma de los cubos de los primeros \(n\) enteros impares será igual a la resta de estas dos sumas:
\[ \displaystyle{\sum_{k=1}^n (2k-1)^3=(4n^4+4n^3+n^2)-(2n^4+4n^3+2n^2)=2n^4-n^2=n^2 \cdot (2n^2-1)} \]
Volviendo al principio, como \(p\) es primo y nuestro número perfecto par \(N\) es mayor que \(6\), seguro que \(p\) es impar. Por tanto, podemos tomar \(n=2^{(p-1)/2}\) en la expresión anterior, concluyendo así la demostración:
\[ \displaystyle{\sum_{k=1}^{2^{(p-1)/2}} (2k-1)^3=\left ( 2^{(p-1)/2} \right )^2 \cdot \left ( 2 \cdot \left ( 2^{(p-1)/2} \right )^2-1 \right )}=2^{p-1} \cdot (2^p-1)=N \]
En resumen, los números perfectos constituyen un aspecto fascinante de la teoría numérica que ha perplejado a matemáticos por siglos. A pesar de que se conocen varios de estos números, persisten interrogantes sin resolver, como si existen números perfectos impares. La elegancia de estos números reside en su sencillez y los misterios que plantean, haciendo de ellos un tema cautivador para la investigación matemática.
Alex Pico Amaya
Matemático y estudiante de maestría en ciencias matemáticas de la universidad del atlántico, Desarrollador web de Extituto de Politica Abierta y docente tiempo completo de la Corporación Universitaria Latinoamericana.
